Статьи по электрическим схемам (это первая из таких статей) могут быть полезны тем, кто только приступил к изучению законов постоянного тока.

Рассмотрим расчёт не содержащих источников энергии участков электрических цепей — от самых простых до достаточно сложных. Рассмотрение сопровождается решением задач, причём в каждом следующем примере или задаче добавляется новый элемент знаний.

Бывает так, что и преподаватель начинает думать, что «это всем известно», и ученик думает, что «всё давно понятно», а в итоге при обучении пропускаются важные вещи, без которых потом становятся непонятными целые разделы. Поэтому в цикле этих статей рассмотрение начинается с самых простых случаев, а на каждом следующем шаге повторяется уже известное и добавляется элемент нового. Но кроме того, что проходят в каждой школе, в данных статьях содержится и материал, немного выходящий за пределы школьной программы.

И, конечно же, всегда полезно знакомиться с историей развития идей. Наука ведь не появилась в кристально совершенном виде, а зарождается всегда в мучениях. Нужно помнить, что путь первопроходца тернист. Это поможет и воспитанию личной устойчивости: ведь и «состоявшимся гениям» было нелегко, поэтому и мы будем упорны и настойчивы в своём развитии. Об этом — во второй части статьи.

Часть 1. Резистор. Сопротивление

Элементом электрической цепи называют идеализированное устройство, отображающее какое-либо из свойств реальной электрической цепи. Различают активные и пассивные элементы электрической цепи.

Основное свойство активных элементов — способность отдавать электрическую энергию в цепь. Пассивные элементы преобразуют электрическую энергию в другие виды или накапливают энергию.

Резистор (от лат. Resisto — сопротивляюсь) — пассивный элемент электрических цепей, обладающий определённым или переменным значением электрического сопротивления.

Электрическое сопротивление — физическая величина, характеризующая свойство проводника препятствовать прохождению электрического тока и равная отношению напряжения на концах проводника к силе тока, протекающего по нему. Часто сопротивлением называют радиодеталь, резистор. Говоря строго, резистор — это деталь, а сопротивление — свойство этой детали.

Сопротивление проводника, резистора зависит и от свойств самого проводника, и от условий, при которых он работает — от тока и др. Сначала рассмотрим сопротивление проводника в цепях постоянного тока в таких пределах, в которых сопротивление можно считать неизменным.

Договоримся обозначать на схемах резисторы (или проводники, имеющие сопротивление) так:

Причём размеры этого прямоугольника (4 × 10) мм. Если требуется нарисовать схему покрупнее или помельче, то можно увеличить или уменьшить все размеры обозначений в строго определённое число раз (в соответствии со стандартами).

К этому надо привыкнуть сразу, с первого знакомства со схемами. Очень часто, начиная небрежно рисовать вместо правильных обозначений какие-то небрежные прямоугольники, получают не просто плохие рисунки, но ошибочные обозначения: вместо сопротивления на схеме появляется предохранитель, или обмотка реле, или иной элемент. Всего-навсего отклонились от стандартных обозначений, но смысл схемы поменялся!

Если же в схеме присутствует просто линия, соединяющая элементы, то при расчётах её сопротивление считается равным нулю (если в задаче специально не оговорено, что линия изображает проводник, обладающий определённым сопротивлением).

Сопротивление часто обозначается буквой R или r. Единица измерения сопротивления названа в честь исследователя, впервые исследовавшего закон протекания тока по металлам, — Ом. Величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью.

Закон Ома

Гемфри Дэви (1778–1829) в 1821 году установил зависимость проводимости проводника от его длины и сечения (проводимость прямо пропорциональна сечению проводника и обратно пропорциональна его длине) и отметил зависимость электропроводности от температуры. Понятие проводимости нагляднее и интуитивно понятнее, чем сопротивление, хотя бы по аналогии с течением воды и пропускной способностью русла (трубы). Поэтому естественным образом оно было осознано раньше. Дэви построил ряд металлов в порядке уменьшения проводимости: серебро, медь, свинец, золото, цинк, олово, платина, палладий, железо.

В определённых пределах сопротивление проводника можно считать постоянной величиной для данного проводника. Ом исследовал прохождение тока по металлическим цилиндрическим проводникам и установил, что сопротивление проводника постоянно, а протекающий по проводнику ток прямо пропорционален напряжению на концах проводника.

Точнее, Ом установил, что показания измерительного прибора в опытах подчиняются соотношению X = a/(b + x), где X — интенсивность воздействия магнитного поля проводника длиной x на магнит, подвешенный в «крутильных весах», a и b — константы, зависящие от батареи и прочих частей цепи. Сейчас мы знаем это соотношение в виде I = ε/(R + r), где ε — электродвижущая сила батареи, R и r — внешнее сопротивление цепи и внутреннее сопротивление источника.

Для участка цепи ток прямо пропорционален напряжению, приложенному к этому участку:

где R — омическое сопротивление или просто сопротивление, Ом; U — разность электрических потенциалов (напряжение) на концах проводника, В; I — сила тока, протекающего между концами проводника под действием разности потенциалов, А.

Сразу подчеркнём, что сопротивление проводника принимается постоянным только в определённых пределах. Кроме того, для многих материалов и устройств сопротивление меняется нелинейно. К этому мы вернёмся позже.

Закон Ома для однородного участка цепи:

Зависимость тока от напряжения можно представить не только формулой, но и графически. Такой график называется вольт-амперной характеристикой (ВАХ). Для проводников, подчиняющихся закону Ома, ВАХ представляет прямо пропорциональную зависимость (рис. 3).

(В дополнение см. Часть 2. Георг Симон Ом).

Последовательное соединение резисторов

При последовательном соединении проводников к концу одного проводника подключается следующий проводник, причём разветвления нет: подключается только один проводник, весь ток, прошедший через первый проводник, переходит во второй проводник. К концу второго проводника подключается третий и так далее. Сила тока в любых частях цепи одна и та же.

Сила тока, по определению, равна заряду, проходящему через сечение проводника в единицу времени:

В металлических проводниках (их и исследовал Ом) носителями тока являются электроны. Это выяснилось на полвека позже исследований Ома. Заряд электрона неизменен, сила тока поэтому определяется количеством электронов, проходящих через поперечное сечение проводника. Если в цепи нет разветвлений, то все электроны в ней будут переходить из одного проводника в другой, не теряясь и не добавляясь в пути.

Полное напряжение в цепи при последовательном соединении равно сумме напряжений на отдельных участках цепи:

Учитывая закон Ома, запишем:

Здесь R — полное сопротивление цепи. Так как ток через все сопротивления протекает одинаковый, то получим:

Таким образом, при последовательном соединении общее сопротивление равно сумме сопротивлений:

Что получим теперь?

Добавим в нашу схему перемычки, как указано на рис. 5. Сможете ли вы рассчитать сопротивление такого участка цепи?

Можно предложить пронумеровать выводы каждого сопротивления, обозначить крайние точки (клеммы) схемы и проследить, куда подключён каждый отдельный вывод. На рис. 6 видно, что вывод 1 напрямую подключён к клемме А, вывод 2 — к клемме В. Проследим подключение каждого вывода и получим схему, представленную на рис. 7. Это — параллельное соединение.

Параллельное соединение сопротивлений

При параллельном соединении сопротивлений напряжение на каждом сопротивлении будет одинаковым, а токи через сопротивления будут определяться законом Ома, причём сумма токов даст общий ток в цепи (общий заряд, протекающий по элементам цепи, сохраняется):

Получим:

При параллельном соединении общее сопротивление находим из суммы обратных сопротивлений:

(Не забудьте при вычислении сопротивления перевернуть полученную дробь!)

Например, для двух параллельно соединённых сопротивлений получим формулу:

Величина, обратная электрическому сопротивлению, называется электрической проводимостью:

Единица электрической проводимости — сименс (См). Названа по имени Вернера фон Сименса (правильнее было бы писать Зименс, но такая транскрипция уже стала у нас традиционной).

Чем больше сопротивление проводника, тем меньше его проводимость, и наоборот. Таким образом, проводимость характеризует способность проводника проводить электрический ток.

Ещё одна схема

Заменим на участке цепи, схема которого изображена на рис. 5, перемычки сопротивлениями.

Мы уже знакомы с приёмом, который позволит перечертить схему в более наглядном виде. Схема будет выглядеть так (см. рис. 9).

Мостиковая (или мостовая) схема часто применяется, например, в приборостроении.

Решение (из статьи). 1 фут = 0,3048 м. Плотность меди d = 8,93·10³ кг/м³. Объём медной проволоки массой 6,48 г равен V = m/d = 6,48/8,93 = 0,726 см³. Площадь поперечного сечения проволоки S = V/l = 726/304,8 ≈ 2,38 мм². Сопротивление проволоки R = ρl/S = 0,017·(0,3048/2,38) = 2,18·10⁻³ Ом ≈ 2 мОм. Ответ: ≈ 2 мОм.

Мост Уитстона

Вернёмся к рис. 9 и заменим в схеме сопротивление R₂ гальванометром. Заменим сопротивление R₄ регулируемым переменным сопротивлением R, а вместо R₁ будем подключать неизвестное сопротивление Rₓ, которое необходимо измерить (рис. 10).

Встречаются высказывания, что принцип измерения сопротивления основан на уравнивании потенциала средних выводов (а и b) двух ветвей. Если потенциалы φ_a = φ_b, ток через гальванометр не протекает, и его показания равны нулю.

Но можно привести примеры, когда потенциалы между точками какого-то участка цепи считаются равными, однако ток по этому участку протекает. Рассмотрим задачу, предложенную на школьном этапе Всероссийской олимпиады школьников по физике 2021 г. (в изложении, акцентируемом на этот вопрос).

Решение (из статьи). Перечертим схему в другом виде. Видно, что потенциалы точек С и В равны. Ток, протекающий по верхней ветви, I₁ = U_AB/(R₁ + R₃R₄/(R₃+R₄)) = 6/(1 + (2·2)/(2+2)) = 3 А. Ток, протекающий в нижней ветви, R₃ = R₄, поэтому ток I₁ разделяется на два равных тока: I₃ = I₄ = I₁/2 = 1,5 А. Искомый ток через перемычку равен I = I₂ + I₃ = 6 + 1,5 = 7,5 А. Ответ: I = 7,5 А.

Заметим, что потенциалы на концах перемычки равны, но ток через неё протекает. Это противоречит соотношению I = U/R. На самом деле, проводник имеет сопротивление, хотя и малое по сравнению с другими участками схемы. Поэтому на участке имеется падение напряжения, потенциалы точек немного различаются. Мы условно можем говорить о том, что разность потенциалов стремится к нулю, потенциалы на концах перемычки практически равны.

Решение (из статьи). На мостиковой схеме (рис. 13) обозначим токи и запишем уравнения для суммы токов (следствие закона сохранения зарядов) и для суммы падений напряжений при обходе контуров.

Учтём, что при разветвлении заряды не теряются, не появляются ниоткуда, поэтому алгебраическая сумма токов в узлах равна нулю (это положение называется первым правилом Кирхгофа, узел — место соединения ветвей). Понятно, что при замкнутом обходе по элементам электрической цепи (говорят: при обходе по контуру), если не встречается источников электрической энергии, сумма падений напряжений будет равна нулю. (В дальнейшем мы рассмотрим второе правило Кирхгофа, которое здесь используется).

Получим систему:

Мы добиваемся, чтобы ток через гальванометр был равен нулю: I = 0. С учётом этого условия система уравнений примет вид:

Поделим третье уравнение на четвёртое и получим условие сбалансированности моста:

Отсюда, например, для нахождения неизвестного сопротивления в измерительной мостовой схеме (рис. 10) получим:

(В дополнение см. Часть 2. «Алмазный метод»).

В решении последней задачи использованы правила Кирхгофа. К ним мы в дальнейшем ещё вернёмся.

Часть 2. Георг Симон Ом

Вот только некоторые из событий, которые произошли в период от отрочества Ома до его смерти.

В ведущих государствах мира происходит промышленная революция — массовый переход от ручного труда к машинному, от мануфактуры к фабрике. Общество трансформируется от преимущественно аграрного к индустриальному.

• Война России и Австрии с Наполеоном, битва при Аустерлице (1805 г.).
• Отечественная война 1812 года.
• 1803–1813 — Война с Пруссией.
• Создание Священного союза России, Австрии и Пруссии (1815 г.).
• Год без лета (1816), когда в Западной Европе и Северной Америке была необычайно холодная погода. До сегодняшнего дня он остаётся самым холодным годом с начала документирования погодных наблюдений. Необычный холод привёл к катастрофическому неурожаю. Весной 1817 года цены на зерно выросли в десять раз, а среди населения разразился голод. Десятки тысяч европейцев, к тому же всё ещё страдавших от разрушений Наполеоновских войн, эмигрировали в Америку.
• 1820 г. — открытие Антарктиды.
• 1825 г. — восстание декабристов в России.
• 1830–1831 гг. — массовая эпидемия холеры в Европе.
• 1836 г. — начало строительства железных дорог в России.
• Европейские революции 1848–1849, имевшие антифеодальный и национально-освободительный характер. Участники выступлений декларировали требования демократизации общественной жизни.
• 1853–1856 — Крымская война.

Современниками Ома были немецкий поэт Г. Гейне (1797–1856), польский поэт А. Мицкевич (1798–1855), французский писатель О. де Бальзак (1799–1850), русский поэт А.С. Пушкин (1799–1837).

Удивительный человек! Да и время было удивительное (а когда оно не удивительно?).

В 1820 году Ом приступил к самостоятельным исследованиям в области электромагнетизма, в 1825 году появилось его «Предварительное сообщение о законе, по которому металлы проводят контактное электричество».

Ещё не было представления об электрическом сопротивлении, ещё не умели измерять электрические величины, да и сами понятия, связанные с электричеством, только начинали осознаваться.

Ом исследовал количественно протекание электрических зарядов в проводниках. В качестве измерительного устройства Ом создал конструкцию по аналогии с крутильными весами Кулона.

Крутильные весы Ома измеряли угол отклонения магнита под воздействием возникавшего в цепи электрического тока (школьники, знакомые с устройством аналоговых электроизмерительных приборов, с восхищением обнаружат, что Ом создал прообраз таких измерительных систем).

Крутильные весы изобретены Кулоном в последней четверти XVIII века, использовались для измерений взаимодействия электрических зарядов (на самом деле, очень малых!). В конце XVIII века Г. Кавендиш использовал конструкцию крутильных весов для измерения гравитационной постоянной и средней плотности Земли.

В качестве источника электричества Ом использовал гальванические батареи. Но батареи быстро разряжались, результаты опытов были неудачными. Работа Ома была воспринята плохо, результаты не принимались как достоверные, репутация Ома как исследователя пострадала.

В дальнейшем в качестве источника Ом выберет только что открытую Зеебеком термопару, будет пытаться отбирать более чистые металлы для проводников.

В работе, опубликованной в 1826 году, Ом формулирует свой знаменитый закон. Ом даёт теоретический вывод своего закона по аналогии с теорией теплопроводности Фурье. В 1827 году в монографии, посвящённой этим исследованиям, Ом впервые вводит термин сопротивление.

Это сейчас школьники могут пошутить: «Не знаешь закона Ома — сиди дома!». А в 1826 году Ом только пытается проломить льды недоверия со стороны других учёных. В 1826 году по личному указанию министра образования Ома увольняют с работы в школе за публикацию в газетах своих открытий в области физики. В «награду за научный подвиг» — очень стеснённое материальное положение, научная деятельность без должности, непонимание со стороны очень многих исследователей.

Лишь в 1833 году он принимает предложение занять должность профессора физики в политехнической школе в Нюрнберге.

Ещё раз вернёмся в Россию 1825–26 гг., чтобы немного яснее почувствовать эту эпоху. 1 декабря 1825 года умер Александр I. Император не оставил наследников. Предполагаемый император Константин, следующий по старшинству брат, от престола отрёкся. Претендентом на власть стал Николай Павлович. Междувластием решили воспользоваться члены Северного тайного общества. На утро 26 декабря было назначено восстание.

Восстание декабристов. Расправа...

В 1826 году вышел первый сборник «Стихи Александра Пушкина». Огромный успех. Пушкин пишет главы «Евгения Онегина».

20 сентября 1826 года Пушкина вызвали на аудиенцию к царю Николаю I. Царь возвращает из ссылки любимого обществом поэта, пытается расположить к себе общество.

1819–1821 гг. произошла первая русская антарктическая экспедиция Ф.Ф. Беллинсгаузена, М.П. Лазарева.

В это время в мире: в 1821 году Ампер сконструировал «астатический аппарат», представлявший собой две жёстко связанные параллельные магнитные стрелки. Полюса стрелок были направлены в противоположные стороны, поэтому направление стрелок не зависело от направления магнитного поля Земли. Нити были подвешены над проводником. Устройство показало, что магнитная стрелка, избавленная от влияния магнитного поля Земли, ориентируется перпендикулярно проводнику с током.

В 1825 году Леопольдо Нобили представил первый «астатический гальванометр» (рис. 14). Аппарат представлял собой сочетание «астатического аппарата» Ампера с подвеской на нити. Этот прибор на протяжении нескольких десятков лет оставался наиболее чувствительной разновидностью гальванометров.

В 1826 году Поггендорф ввёл метод зеркального отсчёта, развитый впоследствии Гауссом (1832) и применённый в «зеркальном гальванометре» Вебером (1846).

В 1825 году Антуан Беккерель предложил эскиз «дифференциального гальванометра».

«Алмазный метод»

Мостовую схему («алмазный метод» — так назвал её автор) изобрёл Самуэль Хантер Кристи в 1833 году.

Трудно распознать идею метода Кристи в весах для точных измерений (аптечные, ювелирные весы), предложенных Жюлем Робеллалем (рис. 15, 16).

Но не случайно Кристи свой метод назвал «алмазным»: умение увидеть и применить аналогию в столь, казалось бы, далёких друг от друга областях, как механическое взвешивание и электрические измерения, свойственно развитым изобретательным умам. И урок всем нам: чтобы быть ещё более ценным специалистом в своей области, нужно стать широко эрудированным человеком и в других областях. Вспомним крутильные весы Кулона, Кавендиша, Ома! Один принцип, разные задачи!

В год изобретения «алмазного метода» Кристи (1833) Ом, после нескольких лет непризнания, становится профессором физики в политехнической школе в Нюрнберге. Мостовую схему измерений могли бы назвать мостиком Кристи.